Приближенное решение смешанной задачи для телеграфного уравнения с однородными краевыми условиями первого рода с помощью специальных функций

Смешанная задача для хорошо известного в электротехнике и электронике телеграфного уравнения при условии, что линия свободна от искажений, сводится к аналогичной задаче для одномерного неоднородного волнового уравнения. Эффективный способ решения этой задачи основан на использовании специальных функций – полилогарифмов, которые представляют собой комплекс­ные степенные ряды  со степенными же коэффициентами, сходящиеся в единичном круге. Точное решение задачи выражается в интегральной форме через мнимую часть полилогарифма первого порядка на единичной окружности, а приближенное – в виде конечной суммы через действительную часть дилогарифма и мнимую часть полилогарифма третьего порядка. Все указанные части полилогарифмов являются периодическими функциями, имеющими полиномиальные выражения соответствующих степеней на отрезке длиной в период, что позволяет получить решение задачи в элементарных функциях. В работе исследуется смешанная задача для хорошо известного в приложениях телеграфного уравнения. Эта задача линейной подстановкой искомой функции с экспоненциальным по времени коэффициентом сводится к аналогичной задаче для уравнения Клейна – Гордона. Решение последней можно найти методом разделения переменных в виде ряда по тригонометрическим функциям точки линии с коэффициентами, зависящими от времени. Такое решение малопригодно для практического применения, так как для него требуется вычисление большого числа коэффициентов-интегралов и при этом трудно оценить погрешность вычислений. В настоящей статье предлагается другой способ решения этой задачи, основанный на использовании специальных He-функций, которые представляют собой комплексные степенные ряды определенного вида, сходящиеся в единичном круге. Точное решение задачи представляется в интегральной форме через He-функции второго порядка на единичной окружности. Приближенное решение выражается в конечном виде через He-функции третьего порядка. В работе также найдена простая и эффективная оценка погрешности приближенного решения задачи. Она линейна относительно шага разбиения линии с экспоненциальным по времени коэффициентом. Приведен пример решения задачи для уравнения Клейна – Гордона разработанным способом, построены графики точного и приближенного решений

1. Heaviside, O. Electromagnetic Theory / O. Heaviside. 3rd ed. London: Spon, 1951. 416 p.

2. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. М.: Наука, 1964. 772 с.

3. Кошляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: ГИФМЛ, 1962. 767 с.

4. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Араманович, В. И. Левин. М.: Наука, 1969. 288 с.

5. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 5 т. / В. И. Смирнов. М.: Наука,1974. Т. 2. 479 с.

6. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. СПб.: Лань, 2007. 688 с.

7. Остапенко, В. Телеграфное уравнение. Краевые задачи / В. Остапенко. Саарбрюккен: LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 272 с.

8. Новиков, Ю. Н. Электротехника и электроника. Теория цепей и сигналов, методы анализа / Ю. Н. Новиков. СПб.: Питер, 2005. 384 с.

9. Бычков, Ю. А. Основы теории электрических цепей / Ю. А. Бычков, В. М. Золотницкий, Э. П. Чернышев. СПб.: Лань, 2002. 464 с.

10. Дубнищев, Ю. Н. Колебания и волны / Ю. Н. Дубнищев. СПб.: Лань, 2011. 384 с.

11. Ласый, П. Г. Приближенное решение одной задачи об электрических колебаниях в проводах с помощью полилогарифмов / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2017. Т. 60, № 4. С. 334–340. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2017-60-4-334-340.

12. Ласый, П. Г. Применение полилогарифмов к приближенному решению неоднородного теле¬графного уравнения для линии без искажений / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2019. Т. 62, № 5.С. 413–421. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-413-421.

13. Пыхтеев, Г. Н. Полилогарифмы, их свойства и методы вычисления / Г. Н. Пыхтеев, И. Н. Мелешко. Минск: Изд-во БГУ, 1976. 68 с.

14. Мелешко, И. Н. Специальные формулы для интегралов типа Коши и их приложения / И. Н. Мелешко. Минск: ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. 197 с.

15. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. М.: Наука,1969. Т. 3. 656 с.

16. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. М.: Физматгиз,1962. Т. 2. 807 с.