Preview

Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ

Расширенный поиск

Приближенное решение смешанной задачи для телеграфного уравнения с однородными краевыми условиями первого рода с помощью специальных функций

https://doi.org/10.21122/1029-7448-2021-64-2-152-163

Полный текст:

Аннотация

Смешанная задача для хорошо известного в электротехнике и электронике телеграфного уравнения при условии, что линия свободна от искажений, сводится к аналогичной задаче для одномерного неоднородного волнового уравнения. Эффективный способ решения этой задачи основан на использовании специальных функций – полилогарифмов, которые представляют собой комплекс­ные степенные ряды  со степенными же коэффициентами, сходящиеся в единичном круге. Точное решение задачи выражается в интегральной форме через мнимую часть полилогарифма первого порядка на единичной окружности, а приближенное – в виде конечной суммы через действительную часть дилогарифма и мнимую часть полилогарифма третьего порядка. Все указанные части полилогарифмов являются периодическими функциями, имеющими полиномиальные выражения соответствующих степеней на отрезке длиной в период, что позволяет получить решение задачи в элементарных функциях. В работе исследуется смешанная задача для хорошо известного в приложениях телеграфного уравнения. Эта задача линейной подстановкой искомой функции с экспоненциальным по времени коэффициентом сводится к аналогичной задаче для уравнения Клейна – Гордона. Решение последней можно найти методом разделения переменных в виде ряда по тригонометрическим функциям точки линии с коэффициентами, зависящими от времени. Такое решение малопригодно для практического применения, так как для него требуется вычисление большого числа коэффициентов-интегралов и при этом трудно оценить погрешность вычислений. В настоящей статье предлагается другой способ решения этой задачи, основанный на использовании специальных He-функций, которые представляют собой комплексные степенные ряды определенного вида, сходящиеся в единичном круге. Точное решение задачи представляется в интегральной форме через He-функции второго порядка на единичной окружности. Приближенное решение выражается в конечном виде через He-функции третьего порядка. В работе также найдена простая и эффективная оценка погрешности приближенного решения задачи. Она линейна относительно шага разбиения линии с экспоненциальным по времени коэффициентом. Приведен пример решения задачи для уравнения Клейна – Гордона разработанным способом, построены графики точного и приближенного решений

Об авторах

П. Г. Ласый
Белорусский национальный технический университет
Беларусь

Адрес для переписки: Ласый Петр Григорьевич – Белорусский национальный технический университет, ул. Я. Коласа, 12,  220013, г. Минск, Республика Беларусь.  Тел.: +375 17 292-82-73
kafvm2@bntu.by



И. Н. Мелешко
Белорусский национальный технический университет
Беларусь

г. Минск



Список литературы

1. Heaviside, O. Electromagnetic Theory / O. Heaviside. 3rd ed. London: Spon, 1951. 416 p.

2. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. М.: Наука, 1964. 772 с.

3. Кошляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: ГИФМЛ, 1962. 767 с.

4. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Араманович, В. И. Левин. М.: Наука, 1969. 288 с.

5. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 5 т. / В. И. Смирнов. М.: Наука,1974. Т. 2. 479 с.

6. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. СПб.: Лань, 2007. 688 с.

7. Остапенко, В. Телеграфное уравнение. Краевые задачи / В. Остапенко. Саарбрюккен: LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 272 с.

8. Новиков, Ю. Н. Электротехника и электроника. Теория цепей и сигналов, методы анализа / Ю. Н. Новиков. СПб.: Питер, 2005. 384 с.

9. Бычков, Ю. А. Основы теории электрических цепей / Ю. А. Бычков, В. М. Золотницкий, Э. П. Чернышев. СПб.: Лань, 2002. 464 с.

10. Дубнищев, Ю. Н. Колебания и волны / Ю. Н. Дубнищев. СПб.: Лань, 2011. 384 с.

11. Ласый, П. Г. Приближенное решение одной задачи об электрических колебаниях в проводах с помощью полилогарифмов / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2017. Т. 60, № 4. С. 334–340. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2017-60-4-334-340.

12. Ласый, П. Г. Применение полилогарифмов к приближенному решению неоднородного теле¬графного уравнения для линии без искажений / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2019. Т. 62, № 5.С. 413–421. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-413-421.

13. Пыхтеев, Г. Н. Полилогарифмы, их свойства и методы вычисления / Г. Н. Пыхтеев, И. Н. Мелешко. Минск: Изд-во БГУ, 1976. 68 с.

14. Мелешко, И. Н. Специальные формулы для интегралов типа Коши и их приложения / И. Н. Мелешко. Минск: ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. 197 с.

15. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. М.: Наука,1969. Т. 3. 656 с.

16. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. М.: Физматгиз,1962. Т. 2. 807 с.


Для цитирования:


Ласый П.Г., Мелешко И.Н. Приближенное решение смешанной задачи для телеграфного уравнения с однородными краевыми условиями первого рода с помощью специальных функций. Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. 2021;64(2):152-163. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2021-64-2-152-163

For citation:


Lasy P.G., Meleshko I.N. Approximate Solution of Mixed Problem for Telegrapher Equation with Homogeneous Boundary Conditions of First Kind Using Special Functions. ENERGETIKA. Proceedings of CIS higher education institutions and power engineering associations. 2021;64(2):152-163. (In Russ.) https://doi.org/10.21122/1029-7448-2021-64-2-152-163

Просмотров: 50


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1029-7448 (Print)
ISSN 2414-0341 (Online)